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3.6.1. Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son esquemas básicos de inferencia deductiva que se suelen escribir poniendo cada premisa en una línea y la conclusión en otra línea al final. Toda regla, como toda inferencia deductiva, tiene que estar basada en la implicación de la conclusión a partir de las premisas. Veamos algunas de las más conocidas:

La regla de modus ponens dice que si una premisa tiene la forma de condicional y la otra afirma el antecedente entonces es válida la inferencia que consiste en afirmar el consecuente:

P1: f ==> y

P2: f

C: y

Está basada en la tautología (que en un sistema axiomático completo es también una ley, Apartado 3.2.2) llamada modus ponens: |=(((f ==> y)  /\ f) ==> y)

En rigor, una cosa es la tautología, que es una sentencia en el lenguaje de la lógica, y otra la regla de inferencia que de ella se deriva, que es una norma para hacer deducciones y pertenece al metalenguaje («premisa» , «conclusión» , «regla» , etc. se refieren al lenguaje; por tanto son parte de un metalenguaje). No obstante utilizaremos el mismo nombre para ambas. El nombre es una forma abreviada de la expresión «modus ponendo ponens» con la que los lógicos medievales se referían a aquél modo de razonar mediante el cual afirmando (ponendo) el antecedente de un condicional se puede afirmar (ponens) su consecuente.

La regla de modus tollens dice que si se niega el consecuente de un condicional entonces se puede negar su antecedente:

P1: f ==> y

P2: y

C: f

Está basada en |=(((f ==> y)  /\ y) ==>f)

El nombre completo es «modus tollendo tollens» : negando (tollendo) el consecuente se puede negar (tollens) el antecedente.

La reglas de introducción de conjunción y disyunción permiten concluir la conjunción y la disyunción de dos premisas:

P1: f

P2: y

C1: f  /\ y

C2: f  \/ y

Están basadas en |=((f  /\ y) ==> (f  /\ y)) y |=((f  /\ y) ==> (f  \/ y))

La regla de eliminación de conjunción:

P: f  /\ y

C1: f

C2: y

Está basada en |=((f  /\ y) ==> f) y |=((f  /\ y) ==> y)

La regla de encadenamiento:

P1: f ==> y

P2: y ==> x

C: f ==> x

Está basada en la transitividad del condicional: |=(((f ==> y)  /\ (y ==> y)) ==> (f ==> x))

Las reglas anteriores son intuitivamente «razonables» . He aquí otra que no lo es tanto, pero que como veremos nos va a resultar muy útil:

La regla de resolución:

P1: f  \/ y

P2: f  \/ x

C: y  \/ x

Está basada en |=(((f  \/ y)  /\ (f  \/ x)) ==> (y  \/ x))

Cualquier implicación lógica, y, por tanto, cualquier equivalencia, da lugar a una inferencia deductiva. Por ejemplo, la equivalencia (8) del Apartado 3.4.2 era:

(f ==> (y ==> x))  =_ (y ==> (f ==> x))

De aquí que podamos hacer las inferencias:

P: f ==> (y ==> x)

C: y ==> (f ==> x)

y

P: y ==> (f ==> x)

C: f ==> (y ==> x)


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